Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E，F(xiàn)是PC上的兩點(diǎn)，PE=2EC，CF=2FP，連AF．
（Ⅰ）證明：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅲ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，判斷BC與平面PAB是否垂直，并求棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）記AC∩BD=O，連OE，AF，由已知條件得OE∥AF，由此及彼能證明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）Rt△PAC，PA=2，AC=2

2

，從而

OE

OC

=

CA

CP

，△CEO∽△CAP，進(jìn)而OE⊥PC，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直得BD⊥PA，由此能證明PC⊥平面BDE．
（3）過(guò)A作AM⊥PB于M，則AM⊥平面PBC，由此能求出棱錐P-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：記AC∩BD=O，連OE，AF，
∵底面ABCD為菱形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵E，F(xiàn)是PC上的兩點(diǎn)，PE=2EC，CF=2FP，
∴OE∥AF，
∵AF不包含于平面BDE，OE?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）Rt△PAC，PA=2，AC=2

2

，∴CE=

1

3

PC=

2 3

3

，
∴

OE

OC

=

CA

CP

，△CEO∽△CAP，∴OE⊥PC，
菱形ABCD中，BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
∵BD∩OE=O，BD，OE?平面BDE，
∴PC⊥平面BDE．…（8分）
（3）解：過(guò)A作AM⊥PB于M，則AM⊥平面PBC，∴AM⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB．底面ABCD為正方形．
∴VP-ABCD=

1

3

PA•S△BCD=

1

3

×2×4=

8

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平行平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查棱體體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．