Question

11．已知正三棱臺側(cè)棱長為5，上底面邊長和下底面邊長分別為2和5，求該三棱臺的高和斜高．

Answer 1

分析 設(shè)O，O₁是等邊三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，連結(jié)A₁O₁交延長交B₁C₁于E，連結(jié)AO并延長，交BC于D，連結(jié)DF，過點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD于F，過B₁作B₁G⊥BC，交BC于G，由此利用重心定理和正三棱臺的結(jié)構(gòu)特能求出正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的高．

解答 解：正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面邊長A₁B₁=2，AB=5，AA₁=5，
O，O₁是等邊三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，
連結(jié)A₁O₁交延長交B₁C₁于E，連結(jié)AO并延長，交BC于D，
連結(jié)DF，過點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD于F，過B₁作B₁G⊥BC，交BC于G，
則${O}_{1}E=OF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，DF=OD=OF=$\frac{5\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高：
DE=B₁G=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}-（\frac{BC-{B}_{1}{C}_{1}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$．
正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的高OO₁=EF=$\sqrt{E{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{91}{4}-\frac{3}{4}}$=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評 本題考查三棱臺的高和斜高的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三棱臺的高和斜高的合理運(yùn)用．