Question

設V是平面向量的集合，映射f：V→V滿足，則對、，?λ∈R，下列結論恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

Answer 1

【答案】分析：由映射f的對應法則，可得f（）將零向量對應到零向量，將一個非零向量對應到與之同向的單位向量．由此對C項進行證明，可得對任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正確；而對于A、B、D利用映射f的對應法則結合向量的運算性質，分別舉出反例加以說明，即可得到A、B、D均不正確．由此得到本題答案．
解答：解：根據(jù)題意，映射f（）的對應法則是將零向量對應到零向量，
將一個非零向量對應到與之同向的單位向量，因此可得
對于A，若向量是方向相反且模不相等的兩個非零向量，
則，且=+=，
所以，得A項不正確；
對于B，若向量是方向相反且模不相等的兩個非零向量，則||•+||不是零向量，
可得f（||•+||）=
而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B項不正確；
對于C，若=，則f（||•）=f（）=；
若≠，則f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）
由以上的分析，可得對任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C項正確；
對于D，若向量且，則f（||•+||）=f（）=
而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，
因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D項不正確
故選：C
點評：本題給出定義域為向量集的一個映射f，要我們驗證關于映射f的幾個等式中哪一個正確．著重考查了平面向量的線性運算法則和映射的概念等知識，屬于中檔題．