Question

6．已知方程$\sqrt{9-{x}^{2}}$=k（x-3）+4有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{7}{24}$，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• D． （0，$\frac{7}{24}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：令f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，g（x）=k（x-3）+4，
則f（x）的軌跡為半徑為3的上半圓，
g（x）表示過定點(diǎn)（3，4）的直線，
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖；
當(dāng)直線過點(diǎn)C（-3，0）時(shí)，此時(shí)兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)-6k+4=0，解得k=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)直線和圓在第二象限相切時(shí)，k＞0，
此時(shí)圓心到直線kx-y+4-3k=0的距離d=$\frac{|4-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，
平方得24k=7，
即k=$\frac{7}{24}$，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，
故若f（x）與g（x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則滿足$\frac{7}{24}$＜k≤$\frac{2}{3}$，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{7}{24}$，$\frac{2}{3}$]，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵．