Question

18．若奇函數(shù)f（x）與偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=2^x，則函數(shù)g（x）的最小值是1．

Answer 1

分析 由題意，以-x代替x，代入f（x）+g（x）=2^x得到一個(gè)關(guān)于f（-x）和g（-x）方程，利用奇（偶）函數(shù)的定義把此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于f（x）和g（x）另外一個(gè)方程，再聯(lián)立已知方程用消元法求出g（x），利用基本不等式，即可求出函數(shù)g（x）的最小值．

解答 解：由題意知，f（x）+g（x）=2^x ①，
令以-x代替x，代入得，f（-x）+g（-x）=2^-x ②，
∵函數(shù)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（x）=g（-x）代入②得，
-f（x）+g（x）=2^-x；③，
聯(lián)立①③消去f（x），解得g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）≥1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用函數(shù)奇偶性來求函數(shù)的解析式，主要利用定義列出另外一個(gè)方程，利用方程思想求出函數(shù)的解析式．