Question

已知A={x|4^x-9•2^x+1+32≤0}，B={y| y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A }；若y₁∈B，y₂∈B．求|y₁-y₂|最大值．

Answer 1

分析：解復(fù)合型指數(shù)不等式 4^x-9•2^x+1+32≤0 求得A=[1，4]，求函數(shù)y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A  的值域求得 B=[-1，3]，由此求得當(dāng)y₁∈B，y₂∈B時(shí)，|y₁-y₂|最大值．

解答：解：由4^x-9•2^x+1+32≤0 可得 （2^x）²-18•2^x+32≤0，即 （2^x-2）（2^x-16）≤0，即2≤2^x≤16，
∴1≤x≤4，即A=[1，4]．
∵y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A ，
∴y=log2

2

x

•log2

8

x

=（1-log₂x）（3-log₂x）．
再由 1≤x≤4，可得  0≤log₂x≤2，故當(dāng)log₂x=0時(shí)，y_max=3；  當(dāng)log₂x=2 時(shí)，y_min=-1，
∴B=[-1，3]．
∴|y₁-y₂|最大值為 3-（-1）=4．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合型指數(shù)不等式、復(fù)合型對數(shù)不等式的解法，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．