Question

（2013•天津）如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點(diǎn)A 做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．若AB=AC，AE=6，BD=5，則線段CF的長(zhǎng)為

8

3

．

Answer 1

分析：利用切割線定理求出EB，證明四邊形AEBC是平行四邊形，通過三角形相似求出CF即可．

解答：解：如圖連結(jié)圓心O與A，因?yàn)檫^點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．所以O(shè)A⊥AE，
因?yàn)锳B=AC，AE=6，BD=5，∴OA⊥BC，AE∥BC．
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=5，
由切割線定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），所以EB=4，
AC∥BD，則AC∥BE，ACBE是平行四邊形，∴EB=AC
可得四邊形AEBC是平行四邊形，所以AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，

AC

BD

=

CF

FB

即：

4

5

=

CF

6-CF

，
CF=

8

3

，
故答案為：

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切割線定理，三角形相似，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．