Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（2）若{a_n}為等差數(shù)列，求{a_n}的通項公式；
（3）{a_n}能否為等比數(shù)列？若是，求其通項公式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用代入法，計算即可得到所求值；
（2）設(shè)a_n=kn+t，由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．可得kn+t=2（kn-k+t）+n，由恒等知識，可得k=-1，t=-2，進而得到通項公式；
（3）假設(shè){a_n}為等比數(shù)列，設(shè)a_n=kqⁿ，代入條件，運用恒等知識，即可判斷．

解答 解：（1）a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
若a₁=1，則a₂=2a₁+2=4，
a₃=2a₂+3=8+3=11，
a₄=2a₃+4=22+4=26；
（2）若{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)a_n=kn+t，
由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
可得kn+t=2（kn-k+t）+n，
即有k=2k+1，t=2（t-k），
解得k=-1，t=-2，
則a_n=-n-2；
（3）假設(shè){a_n}為等比數(shù)列，設(shè)a_n=kqⁿ，
由a_n=2a_n-1+n（n＞1，n∈N^*）．
可得kqⁿ=2kq^n-1+n，
若q=1，則k=-n，不恒成立；
若q≠1，則等式不恒成立．
故{a_n}不能為等比數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查運算和推理能力，屬于中檔題．