Question

設(shè)函數(shù)內(nèi)有極值．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求證：．

Answer 1

（1）解：函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)
∵函數(shù)在內(nèi)有極值
∴f′（x）=0在內(nèi)有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨設(shè)，則β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴，
∴
（2）證明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）內(nèi)遞增，在（α，1）內(nèi)遞減，在（1，β）內(nèi)遞減，在（β，+∞）遞增
由x₁∈（0，1），可得
由x₂∈（1，+∞），可得
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴==
記
則h′（β）=＞0，h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴
∴
分析：（1）函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在內(nèi)有極值，可得f′（x）=0在內(nèi)有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根據(jù)αβ=1，可設(shè)，則β＞e，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進而由x₁∈（0，1），可得；由x₂∈（1，+∞），可得，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又=．記，可得h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而問題得證．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查不等式的證明，綜合性比較強．