Question

如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．
（1）求證：CD∥平面EFGH；
（2）如果AB=CD=a，求證：四邊形EFGH的周長為定值．

Answer 1

分析：（1）由空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形，知EF∥GH，由此能夠證明CD∥平面EFGH．
（2）由空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．AB=CD=a，推導出

EF+FG

a

=1，由此能推導出四邊形EFGH的周長為定值．

解答：證明：（1）∵空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形，
∴EF∥GH，
又∵EF?平面BDC，GH?平面BDC，
∴EF∥平面BDC，
∵EF?平面ADC，
平面ADC∩平面BDC=DC，
∴EF∥DC，又CD?平面EFGH
∴CD∥平面EFGH．
（2）∵空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．
AB=CD=a，
∴

AF

AC

=

EF

CD

，

CF

AC

=

FG

AB

，
∴

AF

AC

+

CF

AC

=

EF

CD

+

FG

AB

，
∵AB=CD=a，

AF

AC

+

CF

AC

=1，

EF

CD

+

FG

AB

=

EF+FG

a

，
∴

EF+FG

a

=1，
∴EF+FG=a，
∴四邊形EFGH的周長=2a．
故四邊形EFGH的周長為定值．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四邊形的周為定值的證明，解題時要認真審題，注意空間相象力的培養(yǎng)，