設數(shù)列{an}滿足an+1=-nan+1,n=1,2,3,……
(1)當a1=2時,求a2、a3、a4,并由此猜想出an的一個通項公式;
(2)當a1≥3時,證明對所有的n≥1,有①an≥n+2;②++…+≤.
思路 在(1)中,只要看清an與an+1的函數(shù)關系式即可順利求解.解(2)時,①考查用數(shù)學歸納法證明不等式,②綜合運用探索和遞推的思想方法,有一定的靈活性和綜合性. 解答 (1)由a1=2,得a2=a12-a1+1=3;得a3=-2a2+1=4;由a3=4,得=-3a3+1=5.由此猜想:an=n+1(n∈N*) (2)①用數(shù)學歸納法證明: 當n=1時,a1≥3=1+2,不等式成立; 假設當n=k時,不等式成立,即ak≥k+2 那么當n=k+1時,ak+1=-kak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是說,當n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2. 根據(jù)①和②,對于所有n≥1,有an≥n+2. 、谟蒩n+1=an(an-n)+1及(i),對k≥2,有 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1 ≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1, …… ∴ak≥2k+1a1+2k-2+…+2+1 。2k+2(a1+1)-1. 于是≤·,k≥2, ≤+ = ≤≤=. |
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. |
PnPn+1 |
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π |
2 |
1 |
2an |
A、
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B、
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C、
| ||||
D、
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