Question

如圖，設(shè)P是圓x²+y²=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=

4

5

|PD|．
（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若直線y=ax-5與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_P，y_P），由已知得

xP=x yP= 5 4 y.

由此能求出C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

16x2+25y2=400 y=ax-5

，得（16+25a²）x²-250ax+225=0，由此利用韋達(dá)定理和根的判別式能求出a的值．

解答： 解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_P，y_P），
∵P是圓x²+y²=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=

4

5

|PD|，
∴

xP=x yP= 5 4 y.

∵P在圓上，∴x2+(

5

4

y)2=25，即C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

16x2+25y2=400 y=ax-5

，得（16+25a²）x²-250ax+225=0，
∴x1+x2=

250a

16+25a2

，x1x2=

225

16+25a2

①…（8分）
由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+a²）x₁x₂-5a（x₁+x₂）+25=0②
將①代入②式得

225(1+a2)-1250a2+25(16+25a2)

16+25a2

=0
解得a=

5

4

，經(jīng)驗(yàn)滿足△＞0，
∴a=

5

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和根的判別式的合理運(yùn)用．