Question

17．如圖所示的圖形是由一個(gè)半徑為2的圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成，它們的圓心分別為O，O₁，O₂．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運(yùn)動(dòng)（其中A，O₁，O，O₂，B五點(diǎn)共線），記點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，設(shè)y=|O₁P|²，y與x的函數(shù)關(guān)系為y=f（x），則y=f（x）的大致圖象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由題意需要分段討論，借助向量，當(dāng)x∈[π，2π）時(shí)，由$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$設(shè)$\overrightarrow{{O}_{2}P}$與$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$的夾角為θ，再根據(jù)模的概念和弧長和弧度的關(guān)系，得到函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=5+4cosx，x∈（π，2π），同理求出后幾段的表達(dá)式，繼而得到函數(shù)的圖象．

解答 解：當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，y=1，
當(dāng)x∈[π，2π）時(shí)，
∵$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$設(shè)$\overrightarrow{{O}_{2}P}$與$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$的夾角為θ，|$\overrightarrow{{O}_{2}P}$|=1，|$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$|=2，
∴θ=π-x
∴y=|O₁P|²=（$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$）²=5-4cosθ=5+4cosx，x∈（π，2π），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象是曲線，且為單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[2π，4π）時(shí)，
∵$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{O}_{1}}$，設(shè)$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的夾角為α，|$\overrightarrow{OP}$|=2與|$\overrightarrow{O{O}_{1}}$|=1，
∴α=2π-$\frac{1}{2}$x，
∴y=|O₁P|²=（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{O}_{1}}$）²=5-4cosθ=5+4cos$\frac{1}{2}$x，x∈（2π，4π），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象是曲線，且為單調(diào)遞減．
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別，借助向量求出函數(shù)的表達(dá)式，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)的能力，屬于難題．