Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，分別令n=1，2，3，能夠依次求出a₂，a₃和a₄．
（2）由，知，所以a_n+2-a_n=2（n∈N*）．由此能夠證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）由，得，，故．從而．由此能夠證明2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．
解答：（1）解：，∴a₂=2，a₃=3，a₄=4…（4分）
（2）證明：已知式即，故
因?yàn)閍_n≠0，當(dāng)然a_n+1≠0，所以a_n+2-a_n=2（n∈N*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a_2m=2+2（m-1）=2m，
所以a_n=n（n∈N*）．…（8分）
（3）解：由，得，
故．
從而.．
因此==
設(shè)
故．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特別地，從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N*．…（14分）
…..（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，較繁瑣，容易出錯(cuò)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．