Question

已知雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)O，拋物線(xiàn)y²=2x的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，)．

(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：

(1)k為何值時(shí)⊥．

(2)是否存在實(shí)數(shù)k，m使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=mx對(duì)稱(chēng)，若存在，求出k，m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意設(shè)雙曲線(xiàn)方程為=1，把(1，)代入得=1(*)

又y²=2x的焦點(diǎn)是(，0)，故雙曲線(xiàn)的c²=a²+b²=

與(*)聯(lián)立，消去b²可得4a⁴-21a²+5=0，

(4a²-1)(a²-5)=0．

∴a²=,a²=5(不合題意舍去) 

于是b²=1,∴雙曲線(xiàn)方程為4x²-y²=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k²)x²-2kx-2=0(*)，

當(dāng)△＞0，即-2＜k＜2(k≠±2)時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B

(1)設(shè)A（x₁,y₁),B(x₂,y₂),因,故=0即x₁x₂+y₁y₂=0，由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=，代入可得+1=0

化簡(jiǎn)得k²=2

∴k=±，檢驗(yàn)符合條件，故當(dāng)k=±時(shí)，

(2)法一：若存在實(shí)數(shù)k，m滿(mǎn)足條件，則必須

由(2)，(3)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2   (4) 

把x₁+x₂=代入(4)得mk=4

這與(1)的mk=-1矛盾，故不存在實(shí)數(shù)k，m滿(mǎn)足條件．

法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k、m，則mk=-1

設(shè)A、B中點(diǎn)為P(x₀，y₀)則y₀=mx₀

由得:

∴k=即mk=4這與mk=-1矛盾

∴不存在實(shí)數(shù)k、m，滿(mǎn)足條件．