Question

已知向量

x

=（

3

，-1），

y

=（

1

2

，

3

2

），若存在實數(shù)k和t，使得

a

=

x

+（t²-3）

y

，

b

=-k

x

+t

y

，且

a

⊥

b

．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）若t＞0，且不等式f（t）＞mt²-t恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積運算公式和模的，算出

|x|

=2，

|y|

=1且

x

•

y

=0，由此化簡

a

•

b

=0的式子得4k+t（t²-3）=0，可得k=f（t）=

1

4

（t³-3t），即為所求函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1），化簡得不等式f（t）＞mt²-t恒成立，即m＜

1

4

（t+

1

t

）在（0，+∞）上恒成立．結(jié)合基本不等式加以計算，可得m＜

1

2

恒成立，即得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

x

=（

3

，-1），

y

=（

1

2

，

3

2

），
∴

|x|

=

3+1

=2，

|y|

=

1 4 + 3 4

=1，

x

•

y

=0 
∵

a

=

x

+（t²-3）

y

，

b

=-k

x

+t

y

，且

a

⊥

b

．
∴

a

•

b

=-k

x

2+t（t²-3）

y

2=0，即4k+t（t²-3）=0，
∴t³-3t-4k=0，
可得k=f（t）=

1

4

（t³-3t），即為所求函數(shù)關(guān)系式；
（2）不等式f（t）＞mt²-t恒成立，
即

1

4

（t³-3t）＞mt²-t在（0，+∞）上恒成立
化簡整理，得m＜

1

4

（t+

1

t

）在（0，+∞）上恒成立
∵t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，當且僅當t=1時，t+

1

t

達到最小值2
∴m＜

1

4

×2=

1

2

，
即滿足對任意的t＞0，不等式f（t）＞mt²-t恒成立的m的取值范圍為（-∞，

1

2

）

點評：本題給出向量的坐標，在向量互相垂直的情況下求函數(shù)的關(guān)系式并參數(shù)m的取值范圍．著重考查了向量數(shù)量積的運算公式、向量的模和不等式恒成立等知識，屬于中檔題．