分析:(I)由a
1=1,及S
n+1=4a
n+2,可得b
1=a
2-2a
1=3,又當n≥2時,有S
n=4a
n-1+2,與條件相減,即可證得{b
n}是以b
1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列;
(II)由(I)可得
bn=an+1-2an=3•2n-1,所以
-=,即可證明數(shù)列
{}是首項為
,公差為
的等差數(shù)列;
(Ⅲ)由(II)
=+(n-1)=n-,即可求得數(shù)列{a
n}的通項公式.
解答:(I)證明:由a
1=1,及S
n+1=4a
n+2,
得 a
1+a
2=4a
1+2,a
2=3a
1+2=5,所以b
1=a
2-2a
1=3.
由 S
n+1=4a
n+2,①
則當n≥2時,有S
n=4a
n-1+2,②
②-①得a
n+1=4a
n-4a
n-1,所以a
n+1-2a
n=2(a
n-2a
n-1),
又b
n=a
n+1-2a
n,所以b
n=2b
n-1,所以{b
n}是以b
1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列. …(6分)
(II)證明:由(I)可得
bn=an+1-2an=3•2n-1,所以
-=.
所以 數(shù)列
{}是首項為
,公差為
的等差數(shù)列.…(10分)
(Ⅲ)解:由(II)
=+(n-1)=n-,即
an=(3n-1)•2n-2(n∈N
*).…(14分)
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項,正確運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義是關鍵.