Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+y²=4和直線l：2x+y-10=0，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)．
（1）若直線l'∥l，且l'被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l'的方程；
（2）過點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)此切線交直線l于點(diǎn)T，若PT=

21

，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）已知A（2，2），是否存在定點(diǎn)B（m，n），使得

PA

PB

為定值k（k＞1）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行直線的直線系方程，我們?cè)O(shè)出直線l'的方程，進(jìn)而根據(jù)圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長(zhǎng)

l

2

=

3

及半徑r=2構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而由點(diǎn)到直線距離公式，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程即可求出直線l'的方程；
（2）根據(jù)過點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)此切線交直線l于點(diǎn)T，且PT=

21

，我們可得CT²=25，T點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式，即可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）存在（1，1）點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，滿足

PA

PB

為定值

3

＞1，由兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合P點(diǎn)在圓上滿足x²+y²=4，易證得結(jié)論．

解答：解：（1）直線l'∥l，
可設(shè)l'：2x+y+m=0
∵l'被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

3

，
故圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長(zhǎng)

l

2

=

3

及半徑r=2構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理
即d²=r²-（

l

2

）²=4-3=1，即d=1
又∵弦心距d=

|m|

5

∴1=

|m|

5

解得m=±

5

即l'的方程為：2x+y±

5

=0
（2）∵PT與圓切于P點(diǎn)
∴CT²=PT²+CP²=25
設(shè)T點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則

2x+y-10=0 x2+y2=25

解得

x=3 y=4

或

x=5 y=0

即T點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）或（5，0）
（3）存在（1，1）點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，滿足

PA

PB

為定值

2

＞1滿足要求，
理由如下：
P點(diǎn)到A（2，2）的距離平方為（x-2）²+（y-2）²=x²+y²-4x-4y+8=12-4x-4y
P點(diǎn)到B（1，1）的距離平方為（x-1）²+（y-1）²=x²+y²-2x-2y+2=6-2x-2y
即

PA2

PB2

=

12-4x-4y

6-2x-2y

=2
故

PA

PB

=

2

＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的方程及應(yīng)用，直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，其中（1）的關(guān)鍵是圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長(zhǎng)

l

2

=

3

及半徑r=2構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理；（2）的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出CT²=25，（3）的關(guān)鍵是求出B點(diǎn)坐標(biāo)．