Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=，a_n=2﹣（n≥2，n∈N⁺），數(shù)列{b_n}，滿足b_n=（n∈N⁺），

（1）求證數(shù)列 {b_n}是等差數(shù)列；
（2）若s_n=（a₁﹣1）（a₂﹣1）+（a₂﹣1）（a₃﹣1）+…+（a_n﹣1）（a _n+1﹣1）是否存在a與b∈Z，使得：a≤s_n≤b恒成立．若有，求出a的最大值與b的最小值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知b_n=，
∴b_n﹣b_n﹣1=﹣=1（n∈N*），
∴數(shù)列{b _n}是首項為b₁==﹣，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有：a_n﹣1= 
S_n=（a₁﹣1）（a₂﹣1）+（a₂﹣1）（a₃﹣1）+…+（a_n﹣1）（a _n+1﹣1）=，
設函數(shù) ，則函數(shù)在（ ，+∞）上為減函數(shù)．S_n在[3，+∞）上是遞增，且S_n＜，
故當n=3時，且S_n=，取最小值﹣．
而函數(shù) 在（﹣∞，）上也為減函數(shù)，S_n在（1，2]上是遞增，且S_n＞，
故當n=2時，S_n取最大值：S₂=．
故S_n的最大值為 ．a(chǎn)的最大值與b的最小值分別為﹣3，2