Question

如圖，已知橢圓上兩定點，直線與橢圓相交于A，B兩點（異于P，Q兩點）
（1）求證：k_PA+k_QB為定值；
（2）當(dāng)m∈（-1，2）時，求A、P、B、Q四點圍成的四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線l與橢圓交于A，B兩點，所以設(shè)出A，B點的坐標(biāo)，用A，B，P，Q的坐標(biāo)表示k_PA與k_QB，因為A，B坐標(biāo)為直線與橢圓方程聯(lián)立組成的方程組的解，求出x₁+x₂，x₁x₂，代入，k_PA+k_QB，化簡，即為定值．
（2）直線AB把四邊形APBQ分成兩個三角形，兩個三角形都可看做以線段AB為底邊，分別以P，Q到AB的距離為高的三角形，用弦長公式求出|AB|長，點到直線的距離公式求出P，Q到AB的距離，再代入三角形面積公式即可．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y&₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓的方程∴
用代入可得
=
（2）
∵P，Q在直線l兩側(cè)
∴
當(dāng)m=0時∴為其面積的最大值．
點評：本題主要考查了直線與橢圓相交，弦長公式，點到直線的距離公式，韋達(dá)定理等的綜合應(yīng)用．