Question

13．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1內(nèi)一點(diǎn)P（2，-1）作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|=|PB|．則直線AB的方程是5x-3y-13=0．

Answer 1

分析 由|PA|=|PB|，知P為弦AB的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法求AB所在直線的斜率，然后代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|PA|=|PB|，∴點(diǎn)P（2，-1）是A，B的中點(diǎn)，
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}=1$，
兩式作差可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{5（{x}_{1}+{x}_{2}）}{6（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{5}{6}×\frac{4}{-2}=\frac{5}{3}$，
∴直線AB的方程為y+1=$\frac{5}{3}（x-2）$，即5x-3y-13=0．
故答案為：5x-3y-13=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查利用“點(diǎn)差法”求解與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題，是中檔題．