Question

在面積為12的△PEF中，已知tan∠PEF=

1

2

，tan∠PFE=-2，試建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，求出分別以E、F為左右焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)tan∠PEF=

1

2

，tanα=tan（π-∠EFP）=2，得直線PE和PF的直線方程，將此二方程聯(lián)立解得x和y，可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)，|EF|=2c，EF上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式表示出出△EFP的面積求得c，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．由兩點(diǎn)間的距離公式求得|PE|和|PF|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．

解答： 解：以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
焦點(diǎn)為E（-c，0），F(xiàn)（c，0）．
由tan∠PEF=

1

2

，tan∠EFP=-2，tanα=tan（π-∠EFP）=2，
得直線PE和直線PF的方程分別為y=

1

2

（x+c）和y=2（x-c）．
將此二方程聯(lián)立，解得x=

5

3

c，y=

4

3

c，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

3

c，

4

3

c）．
在△EFP中，|EF|=2c，EF上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
由題設(shè)條件S_△EFP=

4

3

c2=12，∴c=3，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．
由兩點(diǎn)間的距離公式|PE|=

(5+3)2+42

=4

5

，|PF|=

(5-3)2+42

=2

5

∴a=

5

．
又b²=c²-a²=4，
故所求雙曲線的方程為

x2

5

-

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查坐標(biāo)系、雙曲線的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力．