Question

（2010•泰安二模）如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=

2

3

AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

1

2

PO．
（I）求證：PD⊥平面COD；
（II）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)OA=a，PO=OB=2a，DA=a，根據(jù)DA∥PO，且PO⊥平面ABC，得到DA⊥平面ABC，從而PD=DO=

2

a，則△PDO為直角三角形，即PD⊥DO，又CO⊥AB，PO⊥平面ABC，從而CO⊥平面PAB，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CO⊥PD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理可知PD⊥平面COD；
（II）過A作AE⊥BC，垂中為E，連接DE，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠DEA為二面角A-BC-D的平面角，然后在△DEA中，求出此角的余弦值即可．

解答：證明：（I）設(shè)OA=a，PO=OB=2a，DA=a，
由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC．
從而PD=DO=

2

a，
在△PDO中∵PD=DO=

2

a，PO=2a∴△PDO為直角三角形，
故PD⊥DO（3分）
又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB，
故CO⊥PD．
∵CO與DO相交于點O．
∴PD⊥平面COD，（6分）
（II）∵DA⊥平面ABC
過A作AE⊥BC，垂中為E
連接DE，則∠DEA為二面角A-BC-D的平面角（8分）
在△ABC中，BC•AE=AB•OC
∴AE=

AB•OC

BC

=

3a•2a

2 2 a

=

3 2

2

a
DE=

DA2+AE2

=

a2+( 3 2 2 a)2

=

22

2

a
cos∠DEA=

AE

DE

=

3 2

22

=

3 11

11

所以二面角A-BC-D的余弦值為

3 11

11

．（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．