Question

設(shè)圓C與兩圓(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．

(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；

(2)已知點(diǎn)M(，)，F(，0)，且P為L上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解　(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.

圓(x＋)²＋y²＝4的圓心為F₁(－，0)，半徑為2，

圓(x－)²＋y²＝4的圓心為F(，0)，半徑為2.

由題意得

∴||CF₁|－|CF||＝4.

∵|F₁F|＝2>4，

∴圓C的圓心軌跡是以F₁(－，0)，F(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為－y²＝1.

(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴當(dāng)M，P，F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|＝＝2.

直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得

整理得15x²－32x＋84＝0.

∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為