Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).

（1）設(shè)棱的中點(diǎn)為，證明：平面；

（2）若，，，且平面平面，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，證明出平面平面，然后利用平面與平面平行的性質(zhì)可得出平面；

（2）將三棱柱的高轉(zhuǎn)化成三棱錐的高來(lái)計(jì)算，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得出平面，計(jì)算出的長(zhǎng)度，然后利用等體積法由計(jì)算出三棱錐的高.

（1）連接，在三棱柱中，，

是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，

，平面，平面，平面.

、分別是、的中點(diǎn)，，

又平面，平面，平面，

，、平面，平面平面.

平面，平面；

（2）三棱柱的高轉(zhuǎn)化成三棱錐的高，設(shè)為，

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

又因?yàn)?/span>，平面，所以平面，

在中，，.

又因?yàn)?/span>，.

所以，所以，解得.

因此，三棱柱的高為.