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設函數f(x)=lg(x+).
(1)判斷函數f(x)的奇偶性,并給予證明;
(2)證明函數f(x)在其定義域上是單調增函數;
【答案】分析:(1)根據題意先判斷再用定義證明,證明時應先求出定義域并判斷是否關于原點對稱,再驗證f(x)和f(-x)的關系,再由奇函數的定義得出結論;
(2)用定義證明函數單調性的五個步驟,本題是對真數作差比較大小,利用分子有理化進行變形在判斷真數的大小,在轉化到比較函數值得大。
解答:解:(1)它是奇函數.
得x∈R,
即所給函數的定義域為R,顯然它關于原點對稱,
又∵
∴函數f(x)是奇函數.
(2)證明:設x1,x2∈R,且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=lg
令t=x+,則t1-t2=(x1+)-(x2+
=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)+

=
∵x1-x2<0,+x1>0,+x2+>0,
∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴0<<1,
∴f(x1)-f(x2)<lg1=0,即f(x1)<f(x2),
∴函數f(x)在R上是單調增函數.
點評:本題考查了函數的奇偶性和單調性的證明,即用定義法進行證明,注意證明奇偶性時應先判斷定義域關于原點對稱;證明單調性的步驟即設值、作差、變形、判斷符號、下結論,對于有關對數函數的復合函數時可轉化為比較真數的大。
練習冊系列答案
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設函數f(x)=
lg|x|,(x<0)
2x-1,(x≥0)
,若f(x0)>0則x0取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(1,+∞)
B、(-∞,-1)∪(0,+∞)
C、(-1,0)∪(0,1)
D、(-1,0)∪(0,+∞)

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(-∞,-4]∪[0+∞)

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②△ABC若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形;
③數列{n(n+4)(
2
3
n中的最大項是第4項;
④設函數f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
則關于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①③
①③
.(寫出所有真命題的編號).

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