Question

16．如圖，矩形ABCD 中，AD⊥平面ABE，AE=FB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC，BD交于G點
（1）求證：AE∥平面BFD
（2）求證：AE⊥平面BCE
（3）求三棱柱C-BGF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意可知G是AC中點，由BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，再由BC=BE，可得F是EC中點，得到FG∥AE，由線面平行的判定得AE∥平面BFD．
（Ⅱ）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，進一步得到AE⊥BC．結(jié)合BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，由線面垂直的判定得AE⊥平面BCE；
（Ⅲ）由已知可得GF⊥平面BCF．解直角三角形求得△BCF的面積，然后利用等積法求得三棱柱C-BGF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：依題意可知：G是AC中點，
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中點．
在△ABC中，F(xiàn)G∥AE，∴AE∥平面BFD．
（Ⅱ）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，
∴AE⊥平面BCE；
（Ⅲ）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCG，
∴FG⊥平面BCE，∴GF⊥平面BCF．
∵G是AC的中點，∴F是CE的中點，且FG=$\frac{1}{2}AE=1$，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．
∴在Rt△BCE中，BF=CF=$\frac{1}{2}CE=\sqrt{2}$．
∴${S}_{△CFB}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
則${V}_{C-BGF}={V}_{G-BCF}=\frac{1}{3}{S}_{△CFB}•FG=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．