Question

6．已知方程（512x²+m₁x+1）（512x²+m₂x+1）…（512x²+m₅x+1）=0的10個根組成一個首項為1的等比數(shù)列，則m₁+m₂+m₃+m₄+m₅=-1023．

Answer 1

分析 根據(jù)1是方程的根，代入方程得m₁，m₂，m₃，m₄，m₅中有一個為-513，從而得到另外一個根為$\frac{1}{512}$，從而確定公比，利用根與系數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：∵方程有10個根，且有一個根為1，
即（512+m₁+1）（512+m₂+1）…（512+m₅+1）=0，
則（513+m₁）（513+m₂）…（513+m₅）=0，
則m₁，m₂，m₃，m₄，m₅中有一個為-513，
∵1+x=-$\frac{{m}_{i}}{512}$=$\frac{513}{512}$，
∴x=$\frac{1}{512}$，即a₁=1，a₁₀=$\frac{1}{512}$=$（\frac{1}{2}）^{9}$，即公比q=$\frac{1}{2}$
∴10個根即為1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，…$\frac{1}{512}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{{m}_{1}}{512}$，x₃+x₄=-$\frac{{m}_{2}}{512}$，…x₉+x₁₀=-$\frac{{m}_{5}}{512}$，
∴m₁+m₂+m₃+m₄+m₅=-512（x₁+x₂+x₃+…+x₉+x₁₀）=-512×$\frac{1×[1-（\frac{1}{2}）^{10}]}{1-\frac{1}{2}}$=-512[2-$（\frac{1}{2}）^{9}$]=-1024+1=-1023，
故答案為：-1023

點評 本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，結合等比數(shù)列的前n項和公式以及根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．