Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}=1$，圓A的方程為（x+1）²+y²=1，圓B的方程為（x-1）²+y²=1，在橢圓上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A的直線與圓A交于C，D兩點(diǎn)過(guò)B的直線與圓B交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，那么$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值為30．

Answer 1

分析 設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{15}sinθ）$（θ∈[0，2π）），C（-1+cosα，sinα），D（-1-cosα，-sinα）．可得$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=8cosθ+cos²θ+15．同理可得：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=-8cosθ+cos²θ+15．
于是$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=2cos²θ+30，即可得出．

解答 解：設(shè)P$（4cosθ，\sqrt{15}sinθ）$（θ∈[0，2π）），C（-1+cosα，sinα），D（-1-cosα，-sinα）．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=（-1+cosα-4cosθ，sinα-$\sqrt{15}sinθ$）•（-1-cosα-4cosθ，-sinα-$\sqrt{15}sinθ$）
=（1+4cosθ）²-cos²α+15sin²θ-sin²α
=1+8cosθ+cos²θ+15-1
=8cosθ+cos²θ+15
同理可得：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=-8cosθ+cos²θ+15．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=2cos²θ+30≥30．當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值為30．
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的參數(shù)方程、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．