Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax（a＜0）．
（I）當a=-1時，f（x）+m＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（II）若f（x）在區(qū)間（0，2）為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f（x）=lnx-x的定義域為（0，+∞）

由f'（x）=0，
解得x=1；f'（x）＞0，
解得0＜x＜1；f'（x）＜0，
解得x＞1
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，1）；
f（x）遞減區(qū)間為：（2，+∞）
故f（1）=-1為最大值．
要使f（x）+m＜0恒成立，
即f（x）＜-m恒成立?-1＜-m
則m＜1
（II）f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0）

由f'（x）=0，
解得；f'（x）＞0，
解得；
f'（x）＜0，
解得
要f（x）在區(qū)間（0，2）為單調(diào)函數(shù)，
則．
故實數(shù)a的取值范圍[-，0）．
分析：（I）當a=-1時，f（x）=lnx-x，求出導數(shù)f′（x），由此利用導數(shù)工具研究f（x）的單調(diào)性和最大值，最后利用要使f（x）+m＜0恒成立，即f（x）＜-m恒成立，從而得出實數(shù)m的取值范圍；．
（II）由f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0），得出f′（x），由f（x）在區(qū)間（0，2）為單調(diào)函數(shù)，建立關(guān)系a的不等關(guān)系，能求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，推理論證能力．