Question

（2011•普寧市模擬）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=

1

2

，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

A．3

B．5

C．7

D．9

Answer 1

分析：要求方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的周期為3的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)f（x）=sinπx，我們不難得到一個(gè)周期函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性進(jìn)行分析不難得到結(jié)論．

解答：解：∵當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴在區(qū)間∈[-

3

2

，

3

2

]上，
f（-1）=f（1）=0，
f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，2，3，4，5，6．
共7個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：若奇函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則必有f（0）=0，這個(gè)關(guān)系式大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，則答案為5個(gè)，若區(qū)間為半開(kāi)半閉區(qū)間，則答案為6個(gè)，故要注意對(duì)端點(diǎn)的分析．