Question

10．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，經(jīng)過A、B兩點分別作拋物線C的切線l₁、l₂，若切線l₁與l₂相交于點M．當k變化時，點M的縱坐標是否為定值？若是，求出這個定值；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距為c．由已知條件，得F（0，1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又b=1，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）假設(shè)點M的縱坐標為定值．直線l的斜率為k，且過F（0，1）故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得x²-4kx-4=0，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=4（y₁+y₂）=16k²+8．另一方面，利用導數(shù)的幾何意義可得：過拋物線C上A、B兩點的切線方程分別是l₁：$y=\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）+y₁，l₂：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）+y₂，化簡整理進而得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距為c．
由已知條件，得F（0，1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又b=1，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．）
（2）假設(shè)點M的縱坐標為定值．
∵直線l的斜率為k，且過F（0，1）故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．且x₁≠x₂．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2．
${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=4（y₁+y₂）=16k²+8．
∵拋物線C的方程為y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，求導得y′=$\frac{1}{2}x$，
∴過拋物線C上A、B兩點的切線方程分別是
l₁：$y=\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）+y₁，l₂：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）+y₂，
依題意，相減可得：$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$[x-（x₁+x₂）]+y₁-y₂=0，
∵x₁+x₂=4k，且x₁≠x₂，y₁-y₂=k（x₁-x₂），代入可得x=2k，）
∴2y=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{2}$+y₁+y₂=$\frac{4k}{2}×2k$-$\frac{16{k}^{2}+8}{2}$+4k²+2=-2，
∴y=-1．
即點M的縱坐標為定值-1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、拋物線的切線、導數(shù)的應用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．