Question

過點(diǎn)（0，1）的直線與拋物線y²=4x僅有一個公共點(diǎn)，則滿足條件的直線共有（　�。�條．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（法一）先看當(dāng)直線斜率不存在時是否成立，再看直線斜率存在時設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，對二次項的系數(shù)分類討論，再由判別式等于0時求k的值：
（法二）判斷出點(diǎn)（0，1）在拋物線y²=4x的外部，則過（0，1）的直線與拋物線y²=4x相切的直線有兩條，此外還有一條與x軸平行的直線，與拋物線也有一個交點(diǎn)，即可得到滿足條件的直線的條數(shù)．

解答： 解：（法一）①當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為x=0，與拋物線方程聯(lián)立求得x=0，y=0，
此時直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
當(dāng)k=0時，y=1代入拋物線求得x=1，此時直線與拋物線有一個交點(diǎn)，
當(dāng)k≠0，要使直線與拋物線只有一個交點(diǎn)需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
綜合可知要使直線與拋物線僅有個公共點(diǎn)，這樣的直線有3條，
（法二）因為點(diǎn)（0，1）在拋物線y²=4x的外部，
所以過（0，1）的直線與拋物線y²=4x相切的直線有兩條，
此外還有一條與x軸平行的直線，與拋物線也有一個交點(diǎn)，
所以滿足條件的直線的條數(shù)是3．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，直線和與拋物線相切的條件，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，設(shè)直線方程時，一定要考慮斜率不存在的情況．