Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)    …（1分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(-1，e

1-a

a

-1]上遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞)單調(diào)遞減．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-

1

2

，0]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減
又f(0)=0，f(1)=1-ln4，f(-

1

2

)=-

1

2

+

1

2

ln2
∴f(1)-f(-

1

2

)＜0
∴當(dāng)t∈[-

1

2

，+

1

2

ln2，0)時(shí)，方程f（x）=t有兩解   …（8分）
（Ⅲ）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證：

ln(1+m)

m

＜

ln(1+n)

n

設(shè)g(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)，則g/(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

…（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）