Question

過(guò)點(diǎn)C（0，1）的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

3

2

，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0）、B（-a，0），過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：

OP

•

OQ

為定值．

Answer 1

分析：（1）由已知得b=1，

c

a

=

3

2

，由a²=c²+b²可求a，b，進(jìn)而可求橢圓方程
（2）由橢圓的右焦點(diǎn)為(

3

，0)，可得直線l的方程為 y=-

3

3

x+1，聯(lián)立橢圓方程可求D，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求CD
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，故設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0且k≠

1

2

)．代入橢圓方程可求D點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AC，直線BD的方程可求Q，結(jié)合已知P可求

OP

，

OQ

，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示代入可證

解答：解：（1）由已知得b=1，

c

a

=

3

2

，由a²=c²+b²=c²+1
解得a=2，
故橢圓方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為(

3

，0)，此時(shí)直線l的方程為 y=-

3

3

x+1，
代入橢圓方整理可得，7x2-8

3

x=0，解得x1=0，x2=

8 3

7

，
代入直線l的方程得 y1=1，y2=-

1

7

，所以D(

8 3

7

，-

1

7

)，
故|CD|=

( 8 3 7 -0)2+(- 1 7 -1)2

=

16

7

．…（6分）
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符．…（7分）
設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0且k≠

1

2

)．代入橢圓方程得（4k²+1）x²+8kx=0．
解得x1=0，x2=

-8k

4k2+1

，代入直線l的方程得y1=1，y2=

1-4k2

4k2+1

，
所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(

-8k

4k2+1

，

1-4k2

4k2+1

)．…（10分）
又直線AC的方程為

x

2

+y=1，又直線BD的方程為y=

1+2k

2-4k

(x+2)，聯(lián)立得

x=-4k y=2k+1.

因此Q（-4k，2k+1），又P(-

1

k

，0)．
所以

OP

•

OQ

=(-

1

k

，0)(-4k，2k+1)=4．
故

OP

•

OQ

為定值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與曲線相交的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于圓錐曲線問(wèn)題的綜合應(yīng)用