Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（1）證明：DF⊥平面PAF；
（2）在線段AP上取點G使AG=AP，求證：EG∥平面PFD．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，由條件得AF=DF=，
又AD=2，所以AF²+DF²=AD²，
所以DF⊥AF．
因為PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
所以DF⊥平面ABCD，所以DF⊥AF，PA∩AF=A，
所以DF⊥平面PAF；
（2）在AD上取點H，使AH=AD，取AD的中點Q，
連接EH、GH、BQ，由EH是△ABQ的中位線，
知EH∥BQ．
而BQ∥DF，所以EH∥DF．
又EH不在平面PFD，DF?平面PFD，DF?平面PFD，
所以EH∥平面PFD．
由AG=AP，AH=AD，可知GH∥PD，
又GH不在平面PDF，PD?平面PDF，
所以GH∥平面PFD，又EH∥平面PDF，GH∩EH=H，
所以
平面EGH∥平面PFD，
所以EG∥平面PFD．
分析：（1）通過證明DF⊥AF，DF⊥AF，PA∩AF=A，即可證明DF⊥平面PAF；
（2）在AD上取點H，使AH=AD，取AD的中點Q，連接EH、GH、BQ，由EH是△ABQ的中位線，通過證明平面EGH∥平面PFD，然后證明EG∥平面PFD．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查邏輯推理能力，空間想象能力．