Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx-$\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0）的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)距離為$\sqrt{{π^2}+4}$．
（1）求ω的值；
（2）若函數(shù)y=f（x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）是奇函數(shù)，求函數(shù)g（x）=cos（2x-φ）在區(qū)間[0，2π]上的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），設(shè)T為f（x）的最小值周期，由題意得${（\frac{T}{2}）^2}+{[2f{（x）_{max}}]^2}={π^2}+4$，結(jié)合f（x）_max=1，可求T的值，利用周期公式可求
ω的值．
（2）由題意可求f（x+φ）=sin（x+φ-$\frac{π}{3}$）是奇函數(shù)，則sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，進(jìn)而可求函數(shù)g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合范圍x∈[0，2π]，即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=sinωx•cosωx-\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}（1+cos2ωx）}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{3}）$，
設(shè)T為f（x）的最小值周期，由f（x）圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為$\sqrt{{π^2}+4}$，得${（\frac{T}{2}）^2}+{[2f{（x）_{max}}]^2}={π^2}+4$，
∵f（x）_max=1，
∴${（\frac{T}{2}）^2}+4={π^2}+4$，整理可得T=2π，
又∵ω＞0，T=$\frac{2π}{2ω}$=2π，
∴ω=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x+φ）=sin（x+φ-$\frac{π}{3}$），
∵y=f（x+φ）是奇函數(shù)，則sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴g（x）=cos（2x-φ）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令$2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+π，（k∈Z）$，則$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}，（k∈Z）$，
∴單調(diào)遞減區(qū)間是$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，
又∵x∈[0，2π]，
∴當(dāng)k=0時(shí)，遞減區(qū)間為$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$；當(dāng)k=1時(shí)，遞減區(qū)間為$[\frac{7π}{6}，\frac{5π}{3}]$，
∴函數(shù)g（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，$[\frac{7π}{6}，\frac{5π}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．