Question

11．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC上的任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$等于（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow$（其中λ、μ∈R），根據(jù)題意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow$，計(jì)算$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{PE}=μ\overrightarrow$（其中λ、μ∈R），
根據(jù)題意可知${\overrightarrow{a}}^{2}=1$，${\overrightarrow}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
λ＞0，μ＞0，且-μ+λ=1．
所以$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{PE}=（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow$，
故$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$=$[（λ-1）\overrightarrow{a}+（μ+1）\overrightarrow]（λ\overrightarrow{a}-μ\overrightarrow）$
=（λ-1）λ-μ（μ+1）
=（λ+μ）（λ-μ-1）
=0，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中求出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EF}$的表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵．