Question

已知點(diǎn)P（x，y）是曲線y=

1-x2

上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x+3的距離的最大值是

2

2

．

Answer 1

分析：利用三角換元，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)P到直線y=x+3的距離，進(jìn)而可求其最大值．

解答：解：∵點(diǎn)P（x，y）是曲線y=

1-x2

上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（cosα，sinα）（α∈[0，π]）
∴點(diǎn)P到直線y=x+3的距離為d=

|cosα-sinα+3|

2

=

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

∵α∈[0，π]
∴α+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴cos(α+

π

4

)∈[-1，

2

2

]
∴cos(α+

π

4

)=

2

2

時(shí)，

| 2 cos(α+ π 4 )+3|

2

取得最大值為2

2

即點(diǎn)P到直線y=x+3的距離的最大值是2

2

故答案為：2

2

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是利用三角換元，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)P到直線y=x+3的距離