在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA=
4
5
，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面積S=
3
2
sinBsinC，求a的值．
分析：（1）利用余弦定理可求的a=3
2
c，進而根據cosA求得sinA，利用正弦定理即可求得sinC．
（2）根據（1）中的sinC求得cosC，進而利用倍角公式求得sin2A和cos2A，代入sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC求得答案．
（3）根據b和c的關系，進而求得sinB和sinC的關系，把sinC代入面積公式求得三角形的面積，進而利用三角形面積公式求得
1
2
bcsinA=S，求得a．
解答：解：（1）∵a2=b2+c2-2bccosA=26c2-10c2×
4
5
=18c2，
∴a=3
2
c．
∵cosA=
4
5
，0＜A＜π，∴sinA=
3
5
．
∵
a
sinA
=
c
sinC
，
∴sinC=
csinA
a
=
c×
3
5
3
2
c
=
2
10
；
（2）∵c＜a，∴C為銳角，
∴cosC=
1-sin2C
=
7
2
10
．
∵sin2A=2sinAcosA=2×
3
5
×
4
5
=
24
25
，
cos2A=2cos2A-1=2×
16
25
-1=
7
25
，
∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC
=
24
25
×
7
2
10
+
7
25
×
2
10
=
7
2
10
；
（3）∵b=5c，∴
sinB
sinC
=
b
c
=5，sinB=5sinC．
∴
3
2
sinBsinC=
15
2
sin2C=
3
20
．
又∵S=
1
2
bcsinA=
3
2
c2=
a2
12
，
∴
a2
12
=
3
20
，
∴a=
3
5
5
．
點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．涉及了三角形面積公式，三角函數(shù)中基本公式，考查了學生對知識的綜合把握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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