Question

12．.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．（直接寫出答案，不用證明）；
（3）若對(duì)于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為R上的奇函數(shù)，由f（0）=0即可求得a的值；
（2）分離出常數(shù)-1，即可判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性（直接寫出答案，不用證明）；
（3）利用奇函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減的性質(zhì)，可將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立轉(zhuǎn)化為3t²-2t-k＞0恒成立，利用△=4+12k＜0，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)
所以f（0）=0即$\frac{a-1}{2}$=0，
∴a=1  …（3分）
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減…（6分）
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
又f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
∴t²-2t＞-2t²+k，
即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．…（12分）（利用分離參數(shù)也可）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．