Question

2．已知點O為坐標(biāo)原點，點M（2，1），點N（x，y）滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值為11．

Answer 1

分析 可畫出原不等式組所表示的平面區(qū)域，而可求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$，可設(shè)2x+y=z，從而得到y(tǒng)=-2x+z，這樣找出平面區(qū)域上的一點，使得直線y=-2x+z過該點時截距取到最大值，此時z便取到最大值．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示；

$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$；
解$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x=4}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3）；
設(shè)2x+y=z，∴y=-2x+z；
∴z為直線y=-2x+z在y軸上的截距，由圖看出當(dāng)該直線過點A時，截距最大，即z最大；
∴3=-8+z；
z=11；
∴z的最大值為11，即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值為11．
故答案為：11．

點評 考查根據(jù)不等式可以找到該不等式所表示的平面區(qū)域，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，線性規(guī)劃的方法求最值，直線的斜截式方程．