Question

已知A為銳角△ABC的一個(gè)內(nèi)角，滿足2sin²（A+

π

4

）-

3

cos2A=

3

+1．
（I）求角A的大��；
（II）若BC邊上的中線長為3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）把已知的等式的左邊第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形后，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，可得出sin（2A-

π

3

）的值，由A為銳角，得到2A-

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，CE，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到ABEC為平行四邊形，可得出對(duì)邊AC與BE平行，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得出∠ABE與∠BAC互補(bǔ)，由∠BAC的度數(shù)表示出∠ABE的度數(shù)，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，將AE及表示出的∠ABE的度數(shù)代入，整理后再利用基本不等式變形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將∠BAC的度數(shù)及bc的最大值代入即可求出面積的最大值．

解答：（本題滿分14分）
解：（I）2sin²（A+

π

4

）-

3

cos2A=1-cos（2A+

π

2

）-

3

cos2A
=1+sin2A-

3

cos2A=1+2（

1

2

sin2A-

3

2

cos2A）
=1+2sin（2A-

π

3

）=1+

3

，
∴sin（2A-

π

3

）=

3

2

，（4分）
∵A∈（0，

π

2

），2A-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
∴2A-

π

3

=

π

3

，解得A=

π

3

；（7分）
（II）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD=3，又AD為中線，可得BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=

π

3

，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=

2π

3

，
在△ABE中，根據(jù)余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+bc，
又b²+c²≥2bc，
∴bc≤

36

3

=12，（11分）
∴S_△ABC=

1

2

bcsin∠BAC=

3

4

bc≤3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2

3

時(shí)取等號(hào)，
則△ABC面積的最大值為3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，基本不等式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．