Question

已知F（1，0）橢圓C₁的右焦點(diǎn)且F為雙曲線C₂的右頂點(diǎn)，橢圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)是M（

2 3

3

，

3

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C₁及雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，結(jié)合橢圓的定義，即可求橢圓C₁及雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）直線PF₂的方程為y=

y0

x0-1

（x-1），得Q（0，-

y0

x0-1

），證明

F1P

•

F1Q

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓C₁的方程是

x2

a12

+

y2

b12

=1，雙曲線C₂的方程是x2-

y2

b22

=1，…1分
則2a₁=|MF₁|+|MF₂|=

8+4 3 3

+

8-4 3 3

=2

2

，
∴a₁=

2

，b₁=1，橢圓C₁的方程是

x2

2

+y2=1，…4分
由點(diǎn)M在雙曲線上得：

4

3

-

1

3b22

=1，得b22=1，
∴雙曲線C₂的方程是x²-y²=1，…6分
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則x02-y02=1，
直線PF₂的方程為y=

y0

x0-1

（x-1），得Q（0，-

y0

x0-1

），
∴

F1P

=（x₀+1，y₀），

F1Q

=（1，-

y0

x0-1

），
∴

F1P

•

F1Q

=（x₀+1）-y₀•

y0

x0-1

=0，
∴

F1P

⊥

F1Q

，
∴以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)F₁（-1，0）．，…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查恒過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)．