Question

（2013•北京）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓W：

x2

4

+y2=1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=

1

2

，從而A、C的坐標(biāo)為（±

3

，

1

2

），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出AC的長；
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y2=1的交點(diǎn)，從而解得

3x2

4

=r2-1，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．于是結(jié)論得證．

解答：解：（I）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），
∴線段OB的垂直平分線為y=

1

2

，
將y=

1

2

代入橢圓方程得x=±

3

，
因此A、C的坐標(biāo)為（±

3

，

1

2

），如圖，
于是AC=2

3

．
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設(shè)四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，
設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y2=1的交點(diǎn)，
故

3x2

4

=r2-1，x²=

4

3

（r²-1），則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．
從而得到點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)．這與題設(shè)矛盾．
于是結(jié)論得證．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．