Question

14．已知直線y=x-2與拋物線y²=2x相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）先聯(lián)立直線與拋物線方程消去x，利用韋達定理取得y₁+y₂和y₁y₂的值，進而根據直線方程求得x₁x₂的值，利用x₁x₂+y₁y₂=0，證明OA⊥OB．
（2）利用弦長公式求|AB|．

解答 （1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線與拋物線方程得y²-2y-4=0
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．
（2）解：直線方程代入拋物線方程整理得：x²-6x+4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的位置關系．解決的常用即為聯(lián)立方程，消元后利用韋達定理找到解決問題的突破口．