【題目】如圖，已知平面 平面， 與分別是棱長為1與2的正三角形， // ，四邊形為直角梯形， // ， ，點(diǎn)為的重心， 為中點(diǎn)， .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證： //平面；

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面平行的判定定理推證；（2）借助題設(shè)運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式探求.

試題解析：

解：（Ⅰ）連延長交于，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以

又，所以，所以// ；

因?yàn)?/span>// ， // ，所以平面//平面，

又與分別是棱長為1與2的正三角形，

為中點(diǎn)， 為中點(diǎn), // ,又// ，

所以// ，得四點(diǎn)共面

//平面

（Ⅱ）平面 平面，易得平面 平面，

以為原點(diǎn)， 為x軸， 為y軸， 為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，

， ，

因?yàn)?/span>與所成角為，所以，

得， ， ，

設(shè)平面的法向量，則，取，

面的法向量，所以二面角的余弦值。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有N人參加，現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如下所示．已知[35，40）這組的參加者是8人．
（1）求N和[30，35）這組的參加者人數(shù)N1；
（2）已知[30，35）和[35，40）這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率；
（3）組織者從[45，55）這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為x，求x的分布列和均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為 0.5 萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)時(shí)，又需可變成本(即另增加投入)0.25 萬元．市場對此商品的年需求量為 500臺(tái)，銷售的收入(單位：萬元)函數(shù)為 R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中 x 是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位：百臺(tái))．

(1)求利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)．

(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC三邊長構(gòu)成公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，則△ABC最大內(nèi)角α的取值范圍為（ ）
A. ＜α≤
B. ＜α＜π
C. ≤α＜π
D. ＜α≤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成的集合：對任何（其中為函數(shù)的定義域），均有成立.

（1）已知函數(shù)，，判斷與集合的關(guān)系，并說明理由；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，屬于集合？若存在，求的取值范圍，若不存在，請說明理由；

（3）對于實(shí)數(shù)、 ，用表示集合中定義域?yàn)閰^(qū)間的函數(shù)的集合.

定義：已知是定義在上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對區(qū)間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”，其中常數(shù)稱為的“絕對差上界”，的最小值稱為的“絕對差上確界”，符號(hào)；求證：集合中的函數(shù)是“絕對差有界函數(shù)”，并求的“絕對差上確界”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時(shí)間，某經(jīng)銷化妝品分微商在一廣場隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時(shí)的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：

微信控

非微信控

合計(jì)

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計(jì)

56

44

100


（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有60%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？
（2）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈(zèng)送營養(yǎng)面膜各1份，再從抽取的這5人中再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送200元的護(hù)膚品套裝，記這3人中“微信控”的人數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.321

3.840

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD邊長為2，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=EB；
（2）求EFFC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長為8．

（1）求橢圓的方程；

（2）若經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，試判斷是否為定值？若為定值，試求出該定值；否則，請說明理由．

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