【題目】設，函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若無零點，求a的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點、，求證：.

【答案】(1) (2) (3)見證明

【解析】

（1）先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點斜式得結果，（2）先求導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)零點討論函數(shù)單調性，根據(jù)單調性確定函數(shù)最大值，最后根據(jù)最大值小于零得結果.（3）根據(jù)零點解得，化簡欲證不等式，再令，構造關于t的函數(shù)，利用導數(shù)證不等式.

解：（1）當時，，所以.

，

則切線方程為，即

（2）①當時，有唯一零點；

②當時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，

因為，，

所以，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；

③當時，令得，

所以，當時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

且；

當時，，函數(shù)是在上是減函數(shù)，

且；

所以在區(qū)間上，函數(shù)的極大值為，

由，即，解得，

故所求實數(shù)的取值范圍是.

（3）設，由，，可得，，. 所以

要證，只需證,

即證，即.

令，于是，

設函數(shù)，求導得，

所以函數(shù)是上的增函數(shù)，

所以，即不等式成立，

故所證不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在內單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為，，證明：．

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（1）求橢圓C的方程；

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（1）求橢圓的標準方程；

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（2）設曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，求三條曲線，，所圍成圖形的面積.

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（1）求取出的兩個球都是白球的概率；

（2）求取出的兩個球至少有一個是白球的概率.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，.

（1）當時，判斷曲線與曲線的位置關系；

（2）當曲線上有且只有一點到曲線的距離等于時，求曲線上到曲線距離為的點的坐標.

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【題目】在區(qū)間上任取一個數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個數(shù)記為b．

若a，，求直線的斜率為的概率；

若a，，求直線的斜率為的概率．

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【題目】已知實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則______

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