Question

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l的距離，動(dòng)直線PO與直線l交于動(dòng)點(diǎn)N，過N且平行于x軸的直線與動(dòng)直線PF交于動(dòng)點(diǎn)Q．
（Ⅰ）求證：動(dòng)點(diǎn)P、Q在同一條曲線C上運(yùn)動(dòng)；
（Ⅱ）曲線C在點(diǎn)P處的切線與直線l交于點(diǎn)R，M為線段PQ的中點(diǎn)．
（1）求證：直線RM∥x軸；
（2）若直線RM平分∠PRF，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，可判斷P點(diǎn)在拋物線y²=4x上，所以要想證明動(dòng)點(diǎn)P、Q在同一條曲線C上運(yùn)動(dòng)，只需證明Q點(diǎn)也在拋物線y²=4x上即可，利用Q點(diǎn)為過N且平行于x軸的直線與動(dòng)直線PF的交點(diǎn)，帶著參數(shù)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，證明不論參數(shù)為何值，Q點(diǎn)都滿足拋物線y²=4x方程，就可證明在拋物線y²=4x上．
（Ⅱ）（1）欲證直線RM∥x軸，只需證明R，M兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在P點(diǎn)處的切線斜率，得到切線方程，再與直線l：x=-1聯(lián)立，解出R點(diǎn)坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M點(diǎn)坐標(biāo)，觀察縱坐標(biāo)是否相同即可．
（2）由于直線RM平分∠PRF，且RM∥x軸，可得幾何條件|AR|=|RF|，由（1）中直線PR的方程，表示出R點(diǎn)坐標(biāo)，依幾何條件列方程可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)式寫出所求直線方程

解答：解：（I）點(diǎn)P在曲線C：y²=4x上
令P(

y 2 1

4

，y1)，OP：y=

4

y1

x，N(-1，-

4

y1

)
Q(

4

y12

，-

4

y1

)
NQ：y=-

4

y1

，PF：y=

4y1

y12-4

(x-1)
將直線NQ的方程代入直線PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴點(diǎn)Q在曲線C上．
（II）
（1）∵y=2

x

，y′=

1

x

，kPR=

2

y1

∴PR：y-y1=

2

y1

(x-

y 2 1

4

)
∴R：(-1，

y1

2

-

2

y1

)，M(

y12

8

+

2

y12

，

y1

2

-

2

y1

)
顯然RM∥x軸
(2)PR與x軸交于A(-

y 2 1

4

，0)
若RM平分∠PRF，且RM∥x軸
∴|AR|=|RF|
即

y 2 1

4

-1=2，

y

2 1

=12
∵y1＞0∴y1=2

3

∴P（3，2

3

），又F（1，0）
∴PF：y=

3

(x-1)
即直線PQ的方程為y=

3

(x-1)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，解題時(shí)要學(xué)會(huì)通過恰當(dāng)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行證明和計(jì)算，要學(xué)會(huì)將幾何條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于證明和計(jì)算