已知函數(shù)f(x)=ax2+x-3,g(x)=-x+4lnx,h(x)=f(x)-g(x)
(1)當a=1時,求函數(shù)h(x)的極值;
(2)若函數(shù)h(x)有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)定義:對于函數(shù)F(x)和G(x),若存在直線?:y=kx+b,使得對于函數(shù)F(x)和G(x)各自定義域內的任意x,都有F(x)≥kx+b且G(x)≤kx+b成立,則稱直線?:y=kx+b為函數(shù)F(x)和G(x)的“隔離直線”.則當a=1時,函數(shù)f(x)和g(x)是否存在“隔離直線”.若存在,求出所有的“隔離直線”;若不存在,請說明理由.

解:(1)a=1時,f(x)=x2+x-3,h(x)=x2+2x-3-4lnx,h(x)的定義域是(0,+∞),
當x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)遞減,
當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)遞增
∴x=1時,h(x)取得極小值h(1)=0,h(x)無極大值.…(4分)
(2)h(x)=ax2+2x-4lnx-3,x∈(0,+∞),
依題意,方程2ax2+2x-4=0在(0,+∞)上有兩個不相等的正數(shù)解.
,∴
∴a的取值范圍是(-,0)…(9分)
(3)設存在,a=1時,f(x)=x2+x-3
由(1)知,當且僅當x=1時,h(x)=0,此時,f(1)=g(1)=-1
∴y=f(x)與y=g(x)的圖象有唯一的交點A(1,-1)
直線?必過點A,設?的方程:y+1=k(x-1),即y=kx-k-1
由f(x)≥kx-k-1恒成立得x2+(1-k)x+k-2≥0恒成立
∴△=(1-k)2-4(k-2)=(k-3)2≤0
∴k=3,直線?的方程:y=3x-4…(12分)
以下證明g(x)≤3x-4對x>0恒成立

當x∈(0,1)時,?′(x)<0,?(x)遞減,當x∈(1,+∞)時,?′(x)>0,?(x)遞增,
∴?(x)的最小值為?(1)=0,∴?(x)≥0恒成立
即g(x)≤3x-4對x>0恒成立
綜上,f(x)和g(x)存在唯一的“隔離直線”:y=3x-4…(14分)
分析:(1)確定函數(shù)的定義域,再求導函數(shù),確定函數(shù)的單調性,從而可以求函數(shù)h(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)有兩個極值點,等價于導函數(shù)為0的方程有兩個不相等的正數(shù)解,利用韋達定理可解;
(3)利用新定義,先確定“隔離直線”,再進行證明即可.
點評:本題考查導數(shù)函數(shù)單調性中的應用,考查學生對新定義的理解.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地運用導數(shù)的性質進行求解.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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